统计研究

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(1)经过推导，可知已实现MDH模型方程组中vt的k阶自协方差■为■。特别地，若k=1，则■，其中，■。当k≥2时，■就无法被表示为模型参数和t kh-自身的方差及协方差的函数形式。

(1)值得注意的是，本文提出的已实现MDH模型中采用了“GARCH类”模型的建模思路，隐信息流仅包含上一期的信息，这有别于经典MDH模型采用的“随机波动率类”模型的建模方法，其中隐信息流包含了当期新息（Innovations），并由包含新息的隐信息流方程（而非GARCH方程）描述。Ferland等（2006),Fokianos等（2009),Fokianos和Tj?stheim(2011),Neumann(2011）对本文使用的这一“GARCH类”泊松自回归模型进行了研究。当然，在“随机波动率类”模型下讨论收益率、成交量、已实现测度的联合建模及其参数估计理论无疑也是一个重要问题（已有孙彦林等（2019）在不考虑已实现测度的情形下讨论了股市汇市两市成交量在股价波动率预测中的作用），将留待后续研究，而在本文中仅关注“GARCH类”建模方法。

(1)因篇幅所限，证明过程以附录展示，见《统计研究》网站所列附件。下同。

(1)R软件stats包中的nlminb函数是一个采用半牛顿法的优化器。Ahmad和Francq(2016）研究泊松拟极大似然估计量的渐近性质的估计方法适用于Neumann(2011）的整数GARCH模型，同时适用于真实参数取参数空间内点和边界点的情况，但其框架中不包含随机冲击项tw。在模拟中，Ahmad和Francq(2016）使用了和本文同样的优化器。此外，由于本文的目标函数形式较为复杂，故将函数的最大估计次数设置为5000，最大迭代次数设置为2000，提升了结果的收敛概率。

(1)本文经以下步骤得到经验初始值。首先，本文使用对数线性已实现GARCH(1,1)模型对实际数据进行回归，得到条件波动率的估计■，并将估计出的■作为对应参数的估计量。用tv的方差除以tv的均值，作为c的估计。其次，本文进行线性回归，其中因变量为■，自变量为■，■和■，得到■的估计。最后，本文做因变量为■，自变量为■的线性回归，得到■的估计。至此本文得到所有参数初始值的估计，该初始值需要做如下处理。首先，如果模拟中该初始值太接近真实值，则算法未必能够收敛。Brooks(2019）也指出，在最大值的附近，似然函数过于平坦，使得算法不易收敛到真实值。为了解决这一问题，本文将该初始值压缩至原来的二分之一。其次，压缩后初始值可能在优化函数中规定的上、下确界之外，对此本文使用表1中对应的先验初始值点进行替换，最终得到经验初始值。为了增加参数估计的稳健性，本文在模拟和实证中同时考虑先验初始值和经验初始值，对比二者的似然函数大小并选取使得似然函数更大的估计。

(2)因篇幅所限，本小节模拟参数设置与结果以附表1~2展示。

(1)借鉴Hansen和Huang(2016）的做法，本节剔除高频观测缺失率高于10%的交易日。比如，中国市场一天有48个5分钟观测，如果该交易日有效观测数小于等于43个，那么删去该交易日数据。中国个股可能会在一些大事件前停牌，比如重大资产重组，停牌当天无交易数据。

(2)因篇幅所限，已实现MDH模型回归结果以附表3~4展示。

(1)在Hansen等（2012）文献表2中，通过对比已实现GARCH模型的“GARCH型”偏似然和GARCH模型的似然来比较两个模型在样本内外的拟合效果，其想法是已实现GARCH模型对数似然可分解为“GARCH型”偏似然加上另一项条件似然，而“GARCH型”偏似然与GARCH模型似然具有相同形式，因而可比。本文使用类似做法，注意到通过简单计算，已实现MDH对数似然函数可以有以下分解：■这里,■为已实现MDH模型的“已实现GARCH型”偏似然，其与已实现GARCH模型的似然函数形式一样，因而可以此作为标准来对比两模型的样本拟合效果。